Tauler de problemes

Tauler de Problemes 2022/2023

 

Mathematics Girl Images – Browse 35,068 Stock Photos, Vectors, and Video |  Adobe Stock

 

 

*) Tots els costats de l’hexàgon convex ABCDEF són iguals, i a més AD=BE=CF. Prova que un cercle es pot inscriure dins d’aquest hexàgon. (27/02 13.45 h)

 

*) Sigui f:[0,1]–>[0,1] una funció contínua. Prova que la succesió iterada xn+1=f(xn) convergeix si i solament si limn→∞ (xn+1-xn)=0. (21/02 9.15 h)

 

 

 

 

 

 

Envia la teva resposta per email

(UN sol fitxer de menys de 5MB .pdf, .jpg o .png)

Actualitzacions en twitter: @tauler_mates_ub #tauler2023

 

 

Regles

La puntuació que s’obtindrà per un problema resolt serà igual a la part entera de la quantitat de dies que pren resoldre’l més un. Per exemple, un problema proposat el diumenge a les 15 i resolt el dimarts següent a les 16 atorgarà 3 punts. Si és resolt  el mateix dimarts però a les 14 hores, atorgarà solament 2 punts.

Els problemes de resolució numèrica estaran indicats amb una (N). Per a donar per “bons” aquests problemes és suficient encertar la resposta correcta (per als altres la resolució ha d’incloure raonaments i justificacions correctes. Aquí es poden utilitzar ordinadors per a fer càlculs auxiliars o totals)

 

 

Problemes Resolts

1 pt

*) L’últim dígit de x2+x y + y2 (on x i y són nombres enters) és igual a zero. Prova que els dos últims dígits d’aquest número són zeros. (Abel Salinas)

*) Prova que sempre es poden marcar 50 punts a l’interior de qualsevol polígon convex de 100 costats de tal manera que cadascun dels vèrtexs d’aquest polígon està en alguna recta que connecta un parell d’aquests 50 punts. (Abel Salinas)

*) Prova que per qualsevol valor de k enter positiu, el polinomi (x4+x3-3x2+x+2)k té algun coeficient negatiu. (Silvia Romero)

*) Hi ha 5 triangles de paper idèntics sobre una taula. Cadascun d’ells es pot desplaçar paral·lelament en qualsevol direcció (sense girar-ho). És sempre possible cobrir qualsevol d’ells amb els altres quatre amb aquestes regles? (Ferran Espunya)

*) El nombre enter positiu n es canvia per a.b si n=a+b.  Es pot obtenir 2023 si es comença amb n=22 després de repetir diverses vegades aquesta operació? (Gerard Romero)

*) Les tangents dels 3 angles interiors d’un triangle són nombres enters. Troba els valors d’aquests angles. (Jan Trias)

 

*) Siguin A i B matrius 2×2 de nombres enters tals que A, A+B, A+2B, A+3B i A+4B són matrius invertibles i les seves inverses tenen coeficients sencers. Prova que llavors A+5B també és invertible i que la seva inversa també té coeficients sencers. (Ricard Sola)

*) Es tenen en el pla un triangle amb vèrtexs vermells i un triangle amb vèrtexs blaus. O és un punt endins de tots dos triangles tal que la distància de O a qualsevol vèrtex vermell és menor que la distància de O a qualsevol vèrtex blau. Poden els sis vèrtexs dels dos triangles estar en una mateixa circumferència? (Ricard Sola)

 

*) Dos nombres reals x i y es trien a l’atzar en l’interval (0,1) amb distribució uniforme. Quina és la probabilitat que l’enter més proper a x/y sigui parell? (Ricard Sola)

*)Sigui S un conjunt de n nombres reals diferents dos a dos. Sigui A(S) el conjunt de nombres que ocorren com a mitjanes de dos elements diferents de S. Si n>1, quin és el nombre més petit possible d’elements en A(S)? (Jan Trias)

 

*) Donat un enter positiu m, troba tots els triplets (n,x,y) d’enters positius, amb gcd(m,n)=1, tals que (x2+y2)m=(xy)n. (Miguel Asensio)

 

*) Es trien quatre punts a l’atzar en la superfície d’una esfera. Quina és la probabilitat de que el centre de l’esfera es trobi dins del tetràedre amb vèrtexs aquests quatre punts? (Ricard Sola)

 

*) Troba tots els parells de nombres enters positius x, y tals que x3+y3= 4(x2y+xy2-5). (Miguel Asensio)

*) Donat un quadrat ABCD considerem un triangle equilàter KLM, els vèrtexs del qual K, L, M pertanyen als costats AB, BC i CD respectivament. Troba el lloc geomètric dels punts mitjans dels costats KL per a tots els possibles triangles equilàters KLM. (Ricard Sola)

 

*) Determina el menor nombre enter positiu n que és igual a la suma d’11 nombres enters positius consecutius, també és igual a la suma de 12 nombres enters positius consecutius i a més és igual a la suma de 13 nombres enters positius consecutius. (Ricard Sola, Gerard Romero, Miguel Asensio, Jofre Dolcet)

 

*) En tres piles hi ha 51, 49 i 5 pedres, respectivament. Podeu combinar dues piles qualssevol en una pila o dividir una pila formada per un nombre parell de pedres en dues piles iguals. És possible obtenir 105 piles amb una pedra a cadascuna? (Gerard Romero)

*)Cada punt del pla es pinta d’un color entre nou possibles. És veritat que sempre hauran dos punts del mateix color que estiguin exactament a 1 cm de distància? (Ricard Solé)

*) Pot un conjunt infinit numerable tenir una col·lecció no numerable de subconjunts no buits tal que la intersecció de qualssevol dos d’ells sigui finita? (Ricard Solé)

*) Quants nombres primers hi ha que s’escriuen en base 10 alternant 1s amb 0s?(Abel Salinas)

*) Prova que qualsevol pentàgon convex amb vèrtexs amb coordenades senceres ha de tenir una àrea superior o igual a 5/2. (Ricard Sole)

N) Donat un nombre natural considerem el següent procés: dividim el nombre per 2, després dividim el quocient per 3, posteriorment dividim el quocient per 4 i així successivament fins que el resultat de la divisió sigui zero (sempre prenem la divisió sencera). Definim el conjunt associat al número com el conjunt de les restes d’aquestes divisions repetits tantes vegades com apareguin.
Per exemple, si apliquem el procés al número 11: 11 dividit per 2 té resta 1 i quocient 5, llavors 5 dividit per 3 té resta 2 i quocient 1, i finalment 1 dividit per 4 té resta 1 i quocient 0. Així, el número 11 produeix el conjunt associat de restes {1,1,2} (ignorem l’ordre en què apareixen les restes, però preservem la multiplicitat).
A vegades alguns nombres tenen el mateix conjunt associat. Per exemple, 178800 i 123456 tenen tots dos conjunt associat {0,0,0,0,2,3,3,4}. Troba quants nombres tenen el mateix conjunt associat que 123456. (Guillem Esteve)

*) Cada punt del pla es pinta d’un color entre tres possibles. És veritat que sempre hauran dos punts del mateix color que estiguin exactament a 1 cm de distància? (Abel Salinas)

 

*) Al Torneig d’Estiu cada participant ha de triar un conjunt de nombres primers diferents tals que la seva mitjana sigui 27. Guanyen aquells participants que en el seu conjunt tenen al nombre primer més gran. Quin és aquest nombre? (Marc Piquer)

 2 pts

 

*) Calcula els màxims i mínims globals de la función f(x,y)=(x2-y2)e-xˆ2-yˆ2. (Abel Salinas)

 

N) Calcula limε→0 ε1 1/x* cos(log x /x)  dx amb 5 decimals de precisió.

(Ricard Sola)

* )Troba el conjunt de tots els nombres reals k amb la següent propietat: per qualsevol funció positiva, diferenciable f tal que f'(x) > f(x) per a tot x, hi ha algun nombre N tal que f(x)> ekx per a tot x>N. (Miguel Asensio)

 

*) Existeixen enters positius a1 <a2 < ··· < a100 tals que per k>2 ,  el mínim comú múltiple de ak−1 i ak és més gran que el mínim comú múltiple de ak i ak+1? (Abel Salinas)

*) Els nombres 1, 2, 3,…, 64 es distribueixen en una tauler 8×8 de tal manera que dos nombres consecutius estan en caselles veïnes (comparteixen un costat en comú). Quin és el menor valor possible que pot tenir la suma d’una de les diagonals del tauler? (Ricard Sola, Jan Trias)

*) Un quadrat es dissecciona en n polígons congruents no convexos els costats dels quals són paral·lels als costats del quadrat, i no hi ha dos d’aquests polígons són paral·lels traslladats entre si. Quin és el valor màxim de n? (Jan Trias)

*) Existeix un nombre real L tal que, si m i n són enters més grans que L, llavors es pot expressar qualssevol rectangle mxn com una unió de 4×6 i 5 x7 rectangles sense superposar-se? (Abel Salinas)

 

3 pts

Alguns nombres positius menors que 1 s’escriuen en un cercle. Prova que es pot dividir aquest cercle en tres arcs de manera que les sumes de nombres en dos arcs qualssevol difereixin en no més d’1. (Si no hi nombres en un arc, la suma és igual a zero). (Silvia Romero)

*) Prova que si tots els punts d’un triangle isòsceles rectangle de costat 1 s’acoloreixen amb un de quatre colors, llavors hi ha dos punts del mateix color que estan a distància almenys 2-√2. (Abel Salinas)

*) Suposem que cada un de 20 estudiants ha fet una elecció d’entre  0 i 6 cursos des d’un total de 6 cursos oferts. És veritat que sempre hi ha 5 estudiants i 2 cursos tals que tots 5 han triat ambdós cursos o tots 5 no han triat cap dels dos cursos? (Abel Salinas)

4 pts

*) La meitat d’un  dels costats d’un triangle és més llarga que una de les seves medianes. Prova que el triangle té un angle obtús. (Ricard Sola)

*) Per a cada enter positiu n, escriviu la suma 1+1/2+…+1/n en la forma a /b , on a i b són enters positius relativament primers. Determineu tots els n tal que 5 no divideixi al denominador d’aquesta fracció. (Ricard Sola)

5 pts

*) Sobre la gràfica d’un polinomi amb coeficients enters es pinten dos punts amb coordenades enteres. Prova que si la distància entre aquests punts és un nombre enter, llavors el segment que els connecta és paral·lel a l’eix x. (Abel Salinas)

N) Calcula ∑1/n on n està restringit als enters positius que no contenen al 42 com a part de la seva escriptura decimal (per exemple, n=134213 NO està en la llista), amb 5 decimals de precisió. (Miguel Barnadas)

*) Hi ha 5 triangles equilàters de paper idèntics sobre una taula. Cadascun d’ells es pot desplaçar paral·lelament en qualsevol direcció (sense girar-ho). És sempre possible cobrir qualsevol d’ells amb els altres quatre amb aquestes regles? (Martí Fontdecaba)

 

*) Els espectadors estan asseguts en una fila sense llocs buits. Cadascun està en un seient que no coincideix amb el seu bitllet.  L’encarregat pot ordenar a dos espectadors en seients adjacents a intercanviar posicions tret que un d’ells ja estigui assegut correctament. És cert que des de qualsevol posició inicial, l’encarregat pot col·locar a tots els espectadors en els seus llocs correctes? (Guillem Esteve)

 

 

N) Si f(x,y)=e-(y+x^3)^2 i g(x,y)=y2/32+esin y, calcula l’àrea de la regió del pla on f>g amb 10 decimals de precisió. (Ricard Sola)

 

 

7 pts

*) Sigui A una matriu 3×3 amb coeficients reals i tals que per a tot vector tridimensional u, A.u i u són ortogonals. Prova que llavors A és una matriu antisimètrica. (Miguel Barnadas)

 

*) Si totes les arrels complexes del polinomi P(z) de grau n tenen mòdul 1, prova que també totes les arrels del polinomi 2zP'(z)-n P(z) tenen mòdul 1. (Abel Salinas)

 

14 pts

*) Troba l’enter positiu N més gran tal que l’equació 99x + 100y + 101z = N té una solució única en els enters positius x, y, z. (Silvia Romero)

*) Sigui c un nombre real positiu. Descriu totes les funcions continues f:R->R tals que f(x)=f(x2+c) per qualsevol x real. (Ricard Sola)

 

15 pts

*) Existeixen enters positius n i k tals que els primers dígits decimals de 2n (d’esquerra a dreta) siguin iguals a 5k mentre que els primers dígits decimals de 5n siguin iguals a 2k? (Miguel Asensio)

 

18 pts

*) En la superfície superior d’un pastís quadrat es troben xips de xocolata triangulars disjunts. És sempre possible tallar el pastís en poligonals convexos que contingui cadascun d’ells exactament un d’aquests xips? (Abel Salinas)

 

23 pts

N) Calcula els primers 20 dígits de (Miguel Asensio)

29 pts

 

*) Un cub és tallat per un pla de manera que la secció transversal resultant és un pentàgon. Prova que la longitud d’un dels costats del pentàgon difereix d’1 metre en almenys 20 centímetres. (Guillem Esteve)

50 pts

*) La projecció perpendicular d’una piràmide triangular en algun pla té la major àrea possible. Prova que aquest pla és paral·lel a una cara o a dues arestes oposades de la piràmide. (Ricard Sola)

 

90 pts

*) Una formiga fa una ruta tancada al llarg de les arestes d’un dodecàedre, sense tornar enrere. Cada aresta de la ruta es passa exactament dues vegades. Prova que una de les arestes es passa ambdues vegades en la mateixa direcció.(Miquel Ribas)